선형대수 (기초 선형 시스템)

선형대수는 스칼라 벡터(삼차원의 배열 세로로 쓰고 R3승) 매트릭스(행렬 ; 2차원의 배열)

이렇게 표현한다.

 

행렬은 2차원 배열인데 사이즈를 이야기할때 로우의 갯수 수평으로 수직으로 몇개가 있느냐 몇 바이 몇이냐 이렇게 표현하고 확인한다. 

 

수직인 벡터 수평인 벡터 일반적으로는 수직형태의 벡터를 디폴트로 컬럼벡터라고 한다.

 

컬럼벡터 로우벡터 헷갈릴 것 같으면, 컬럼이라는 것은 쳐보면 기둥 세로로 배열되어있다 세로로 되어있는게 컬럼벡터다.

 

로우벡터를 표시해야 하는 경우 컬럼벡터는 R의 n승으로 표현한다.

 

행이 몇개 있느냐 R nx1승

 

로우벡터 수평벡터는 R 1xn승

 

수직벡터에 T라는 기호를 우측 상단에 붙이면 트랜스퍼 수평벡터로 변환하는 것이다.

 

     T

1 6 

3 4   =  1 3 5    요런 모양을 바뀐다.

5 2       6 4 2 

 

스퀘어 매트릭스 정사각 행렬 행열

 

렉탱귤로 매트릭스 직사각 행렬

 

트랜스포즈 위에 예시 수직 -> 수평 바뀌는거 

 

Aij = A(i,j)

Ai, = A(i,모든수)

A,j = A(모든수,j)

 

-=-=-=-=-

 

벡터 매트릭스(행렬) 간의 사칙연산 

덧셈 두개가 더해지는 거다. 

하나씩 해당 엘리먼트를 더하면 된다. 

 

곱셈은 스칼라 멀티플 스케일러 벌티플 상수배는 앞에 상수만큼 곱한다.

 

대문자는 행렬,

소문자 일반폰트는 스칼라 

소문자인데 진한 폰트는 벡터를 나타낸다.

보편적 관습적 약속

 

행렬곱 

 

일반적으로 AB 와 BA 은 같지 않다.

 

-=-=-=-=-

리니어 시스템 이퀘이션 = 연립방정식

 

방정식이 여러개일때 일치하는 해를 찾는 것 연립방정식

리니어 선형 하나의 방정식 일때의 의미

 

선형방정식의 예

3x+5y=4 

x2+2x+5=1 이차방정식은 선형방정식이 아니다

x+2y+3xy=5 선형방정식이 아니다. 차수가 1인걸 만족해야한다.

다항식에서 나타나는 최대의 차수, 어떤 항들이 덧셈으로 구성된 항을 쪼갰을때, 미지수가 몇번 곱해져있냐 

미지수가 xy 두번 곱해져있으니 이차식이 된다.

 

리니어 시스템 연립방정식 : 여러 방정식이 세트를 이루고 있다.

그안의 변수값을 구하는게 연립방정식을 푼다는 뜻이다.

 

예제 - 인공지능의 주된 내용 예측

어떤 사람의 몸무게와 키 흡연유무를 통해서 예상 수명을 예측하는 것

 

사람1 60킬로 55피트키 흡연 수명 66

사람2 65킬로 5.0피트키 비흡연 수명 74

사람3 55킬로 6.0피트키 흡연 수명 78 

 

60x1 + 5.5x2 +1 x3 = 66

65x1 + 5.0x2 + 0 x3 = 74

55x1 + 6.0x2 + 1 x x3 = 78

 

새로운 사람이 70kg 키는 6.5ft 비흡연 일떄 예상 수명은? 

요런식으로 방정식을 푼다.

     60   5.5    1           x1          66

A =65   5.0    0           x2      =  74  

     55   6.0    1           x3          78

A                                X       = b

 

행렬과 벡터의 식으로 나타낸 다음에는 풀기 위해서 항등(Identity) 행렬(Matrix)

특성 : square 정사각 매트릭스

항등행렬을 통해서 역행렬 inverse matrix 을 구할 수 있다.

 

     -1                               1

1 2                               -------     4   -2

3 4      얘 의 역행렬은 =    4 - 6     -3    1

 

위까지는 정사각 행렬이었는데

직사각 행렬도 역행렬이 있을까? ---> 존재하지 않는다.

역행렬은 무조건 정사각 행렬만 존재한다.

 

다시 아까 위에 있던걸 적용해보자.

 

수명(life-span) = -0.4 x (몸무게)+20x(키)

                        -20 x(흡연여부)

 

해석을 해보면 키(피트)에 비례해서 20만큼 더 수명을 늘리고 몸무게가 늘어나면 -0.4, 흡연하면 -20 만큼의 수명을 줄인다.

 

그런데 역행렬이 존재 하지 않을때 어떻게 구할 수 있을까? 

 

역행렬의 존재여부 판별식 ad-bc = det A = 0 역행렬이 존재하지 않음. 

역행렬의 공식이 2x2 보다 클때는 역행렬의 공식을 쓰지 않고

   1

-------- 3 X 3 행렬 크기 이상에서는 다르게 확인

det A

 

지금까지는 정사각 행렬을 했는데, 직사각 행렬도 주어지는 형태의 방정식은 어떻게 할 것인가? 

변수 미지수의 갯수가 방정식보다 많으면 솔루션이 없고 오버 디터민드 

미지수 변수의 갯수가 방정식보다 적으면 솔류션이 무수히 많다 인피니틀리 매니 솔루션스 언데 디터민드